TD 1 – Analyse en Composantes Principales

1 Exercice 1. Un peu de calcul matriciel

On considère la matrice

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

  1. Calculer Z, la version centrée-réduite de la matrice X.

  2. En déduire la matrice d’inertie de Z S associée à X.

  3. Diagonaliser la matrice S en l’écrivant sous la forme

S = P \Lambda P^{-1},

où \Lambda est une matrice diagonale de termes diagonaux \{\lambda_i\}_{i=1,2,3}.

  1. On rappelle que la trace d’une matrice carrée A de taille n \times n correspond à la somme de ses termes diagonaux :

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{i,i}.

Montrer que si U est une matrice de taille n \times m et V une matrice de taille m \times n, alors

\operatorname{tr}(UV) = \operatorname{tr}(VU).

En déduire que

\operatorname{tr}(S) = \sum_{i=1}^3 \lambda_i = p.

  1. Calculer les parts d’inertie. Quelle(s) direction(s) aurait-on envie de retenir si la matrice X correspondait à un tableau de données ?

  2. Calculer les composantes principales, et représenter les individus dans le plan des deux premières composantes.

  3. Déterminer les corrélations entre les variables et les composantes et les représenter sur le cercle des corrélations dans le plan des deux premières composantes.

2 Exercice 2. Analyse sensorielle

On dispose de 10 mesures effectuées sur 10 cidres différents, afin d’évaluer leur qualité olfacto-gustative.

odeur sucre acide amer astringence suffocante piquante alcool parfum fruitee
cidre 1 2.14 1.86 3.29 2.29 2.00 0.14 2.29 1.86 1.29 1.29
cidre 2 2.43 0.79 2.71 2.57 2.00 0.43 2.57 2.86 0.43 0.14
cidre 3 2.71 3.14 2.57 2.57 1.43 0.14 2.14 0.86 2.29 1.71
cidre 4 3.00 3.71 2.14 2.07 1.57 0.00 1.29 1.00 3.14 3.14
cidre 5 3.43 1.29 2.86 3.14 2.17 1.00 1.86 2.86 1.14 0.29
cidre 6 3.14 0.86 2.86 3.79 2.57 0.14 1.71 3.29 0.14 0.00
cidre 7 3.14 1.14 2.86 2.86 2.00 0.43 1.71 1.86 0.14 0.00
cidre 8 2.43 3.71 3.21 1.57 1.71 0.00 1.00 0.57 2.57 2.86
cidre 9 5.10 2.86 2.86 3.07 1.79 1.71 0.43 1.43 0.57 2.71
cidre 10 3.07 3.14 2.57 3.00 2.00 0.00 0.43 1.29 2.57 3.07

  1. Quel est l’objectif d’une ACP dans ce contexte ?

  2. Les données sont dans un data.frame nommé cidre et on effectue l’ACP dans R.

> library(FactoMineR)
> cidre.acp = PCA(cidre, ncp = 10, scale.unit = TRUE, graph = FALSE)
eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
comp 1 5.154 51.544 51.544
comp 2 2.502 25.020 76.565
comp 3 1.097 10.965 87.530
comp 4 0.834 8.344 95.874
comp 5 0.194 1.937 97.812
comp 6 0.140 1.398 99.210
comp 7 0.049 0.491 99.701
comp 8 0.024 0.243 99.944
comp 9 0.006 0.056 100.000

Quelle est la part d’inertie expliquée par les deux premières composantes principales ? Combien de dimensions aurait-on envie de retenir ?

  1. On affiche les deux sorties R ci-dessous
> cidre.acp$var$contrib[, 1:3] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3
odeur 0.134 38.701 0.002
sucre 18.400 1.051 0.045
acide 2.067 0.938 69.665
amer 9.969 8.679 13.298
astringence 13.492 0.045 0.732
suffocante 1.839 24.956 8.756
piquante 4.650 20.592 0.009
alcool 17.284 0.062 3.390
parfum 15.953 1.538 4.075
fruitee 16.212 3.438 0.028 
> cidre.acp$var$cos2[, 1:3] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3
odeur 0.007 0.968 0.000
sucre 0.948 0.026 0.000
acide 0.107 0.023 0.764
amer 0.514 0.217 0.146
astringence 0.695 0.001 0.008
suffocante 0.095 0.624 0.096
piquante 0.240 0.515 0.000
alcool 0.891 0.002 0.037
parfum 0.822 0.038 0.045
fruitee 0.836 0.086 0.000

ainsi que les deux représentations graphiques suivantes.

  1. Quelles seraient les variables mal représentées dans le premier plan factoriel ? Pourquoi ?

  2. Quelles seraient les variables les plus corrélées (positivement ou négativement) à la teneur en alcool ? Celles qui le seraient le moins ?

  3. Quels seraient les caractères qui contribuent le plus au premier axe principal ?

  4. Mêmes questions avec les deux autres axes.

  1. On considère maintenant les sorties R
> cidre.acp$ind$contrib[, 1:3] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3
cidre 1 0.548 13.910 17.790
cidre 2 8.945 7.970 0.557
cidre 3 6.413 3.242 2.194
cidre 4 21.352 0.165 23.318
cidre 5 9.369 1.531 0.008
cidre 6 24.775 0.006 8.027
cidre 7 5.554 0.058 0.610
cidre 8 16.744 4.037 27.229
cidre 9 0.163 66.766 9.380
cidre 10 6.135 2.315 10.887 
> cidre.acp$ind$cos2[, 1:3] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3
cidre 1 0.047 0.580 0.325
cidre 2 0.566 0.245 0.008
cidre 3 0.492 0.121 0.036
cidre 4 0.776 0.003 0.180
cidre 5 0.781 0.062 0.000
cidre 6 0.824 0.000 0.057
cidre 7 0.697 0.004 0.016
cidre 8 0.639 0.075 0.221
cidre 9 0.005 0.919 0.057
cidre 10 0.424 0.078 0.160

ainsi que les représentations graphiques suivantes.

  1. Les individus sont-ils bien représentés ?

  2. Quels individus seraient représentatifs de profils opposés par rapport au premier axe principal ? Même question pour les deux autres axes.

  3. Proposez des profils de cidres en précisant leurs caractéristiques principales.

3 Exercice 3.

On va considérer le jeu de données decathlon disponible dans le paquet FactoMineR, qui s’intéresse en particulier aux performances d’athlètes pour les 10 épreuves du décathlon, dans deux événements différents : les Jeux Olympiques de 2004 et le Décastar de 2004. On ne va considérer ici que cette dernière épreuve, dont on stockera les mesures dans un data.frame nommé decastar

> require(FactoMineR)
> 
> # Charger le jeu de données dans R
> data(decathlon) 
> 
> # Ne conserver que la compétition Décastar
> decastar = decathlon[decathlon$Competition == 'Decastar', ]
> # Supprimer la colonne « Competition », devenue inutile
> decastar = decastar[ , colnames(decastar) != 'Competition']
> print_table(decastar, vertical.headers = TRUE)
100m Long.jump Shot.put High.jump 400m 110m.hurdle Discus Pole.vault Javeline 1500m Rank Points
SEBRLE 11.04 7.58 14.83 2.07 49.81 14.69 43.75 5.02 63.19 291.7 1 8217
CLAY 10.76 7.40 14.26 1.86 49.37 14.05 50.72 4.92 60.15 301.5 2 8122
KARPOV 11.02 7.30 14.77 2.04 48.37 14.09 48.95 4.92 50.31 300.2 3 8099
BERNARD 11.02 7.23 14.25 1.92 48.93 14.99 40.87 5.32 62.77 280.1 4 8067
YURKOV 11.34 7.09 15.19 2.10 50.42 15.31 46.26 4.72 63.44 276.4 5 8036
WARNERS 11.11 7.60 14.31 1.98 48.68 14.23 41.10 4.92 51.77 278.1 6 8030
ZSIVOCZKY 11.13 7.30 13.48 2.01 48.62 14.17 45.67 4.42 55.37 268.0 7 8004
McMULLEN 10.83 7.31 13.76 2.13 49.91 14.38 44.41 4.42 56.37 285.1 8 7995
MARTINEAU 11.64 6.81 14.57 1.95 50.14 14.93 47.60 4.92 52.33 262.1 9 7802
HERNU 11.37 7.56 14.41 1.86 51.10 15.06 44.99 4.82 57.19 285.1 10 7733
BARRAS 11.33 6.97 14.09 1.95 49.48 14.48 42.10 4.72 55.40 282.0 11 7708
NOOL 11.33 7.27 12.68 1.98 49.20 15.29 37.92 4.62 57.44 266.6 12 7651
BOURGUIGNON 11.36 6.80 13.46 1.86 51.16 15.67 40.49 5.02 54.68 291.7 13 7313
  1. Quel est l’intérêt d’effectuer une ACP ici ? Sur quelles variables ?
  2. Quelle opération est indispensable ici avant d’effectuer l’ACP ? Pourquoi ?
  3. On affiche ci-dessous les résultats de l’ACP en termes de valeurs propres. Combien de directions aurait-on envie de conserver ?
> deca.acp = PCA(decastar[, 1:11], quanti.sup= 11, graph = FALSE )
eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
comp 1 3.114 31.144 31.144
comp 2 2.027 20.267 51.411
comp 3 1.390 13.903 65.314
comp 4 1.321 13.206 78.520
comp 5 0.861 8.610 87.129

  1. Commentez les résultats numériques et graphiques ci-dessous en termes d’individus et de variables (suivez le modèle de l’exercice précédent)
> deca.acp$ind$contrib[, 1:4] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
SEBRLE 4.270 7.855 3.461 15.455
CLAY 17.502 9.457 0.545 6.486
KARPOV 17.897 0.010 9.553 8.709
BERNARD 0.105 7.311 18.165 0.054
YURKOV 1.626 3.863 9.496 41.154
WARNERS 3.189 3.592 1.903 4.393
ZSIVOCZKY 1.455 25.408 0.445 0.005
McMULLEN 4.632 9.353 0.004 9.583
MARTINEAU 11.663 0.016 36.313 2.157
HERNU 1.967 6.963 0.005 0.106
BARRAS 1.145 1.406 0.929 2.082
NOOL 10.391 19.064 17.597 0.385
BOURGUIGNON 24.158 5.701 1.583 9.431 
> deca.acp$ind$cos2[, 1:4] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
SEBRLE 0.222 0.266 0.080 0.341
CLAY 0.509 0.179 0.007 0.080
KARPOV 0.588 0.000 0.140 0.121
BERNARD 0.005 0.217 0.369 0.001
YURKOV 0.061 0.095 0.160 0.658
WARNERS 0.192 0.141 0.051 0.112
ZSIVOCZKY 0.069 0.789 0.009 0.000
McMULLEN 0.205 0.269 0.000 0.180
MARTINEAU 0.364 0.000 0.505 0.029
HERNU 0.105 0.242 0.000 0.002
BARRAS 0.175 0.140 0.063 0.135
NOOL 0.328 0.391 0.248 0.005
BOURGUIGNON 0.613 0.094 0.018 0.102 

> deca.acp$var$contrib[, 1:4] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
100m 22.754 0.071 11.314 0.093
Long.jump 13.724 0.001 12.685 2.104
Shot.put 3.918 18.637 19.584 5.351
High.jump 3.651 7.379 3.523 38.336
400m 11.757 11.053 1.625 3.935
110m.hurdle 24.644 4.201 1.891 4.483
Discus 9.585 3.691 32.724 0.161
Pole.vault 0.115 28.169 3.330 7.586
Javeline 0.007 10.663 12.013 34.142
1500m 9.845 16.134 1.312 3.810 
> deca.acp$var$cos2[, 1:4] |>
+   print_table()
Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
100m 0.709 0.001 0.157 0.001
Long.jump 0.427 0.000 0.176 0.028
Shot.put 0.122 0.378 0.272 0.071
High.jump 0.114 0.150 0.049 0.506
400m 0.366 0.224 0.023 0.052
110m.hurdle 0.768 0.085 0.026 0.059
Discus 0.299 0.075 0.455 0.002
Pole.vault 0.004 0.571 0.046 0.100
Javeline 0.000 0.216 0.167 0.451
1500m 0.307 0.327 0.018 0.050

  1. On se propose à présent de mettre en parallèle le classement des athlètes avec les résultats obtenus. Commentez les graphiques ci-dessous.

Retour au sommet