Analyse Factorielle Multiple

AFM

Benjamin Charlier, Adrien Mazoyer

Table des matières

• Objectifs
• Une ACP globale pondérée
• Représentation des groupes
• Individus partiels, ACPs séparées
• Aide à l’interprétation

Objectifs

Description des données

On travaille sur des tableaux de données où

• les lignes correspondent aux individus
• les colonnes correspondent à des variables quantitatives regroupées

	Groupe 1			\cdots	Groupe K
	var. 1	\cdots	var. J_1	\cdots	var. 1	\cdots	var. J_K
Individu 1	t_{1,(1,1)}	\cdots	t_{1,(1,J_1)}	\cdots	t_{1,(K,1)}	\cdots	t_{1,(K,J_K)}
\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots
Individu n	t_{n,(1,1)}	\cdots	t_{n,(1,J_1)}	\cdots	t_{n,(K,1)}	\cdots	t_{n,(K,J_K)}

• x_{i,(k,j)} : mesure de la variable j du groupe k pour l’individu i.
• les individus i = 1, \dots, n
• les groupes k=1, \ldots, K
• les variables j=1,\ldots, J_K

Objectifs généraux

Étude sur les individus

• Identifier des profils d’individus
• Étudier la variabilité des profils
• Visualiser les individus

Étude sur les groupes

• Étudier les ressemblances entre les groupes
• Comparer avec les analyses des groupes (type ACP)
• Construction de variables synthétiques

Une ACP globale pondérée

Approche naïve

• Les données
• Groupe A
• Groupe B
• Groupe C
• ACP classique

Effectuer directement une ACP classique sur le tableau, en ignorant la structure en groupe des variables ?

• Exemple jouet: On dispose de 11 variables réparties dans 3 groupes distincts :

  • Groupe A : \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}: variables très fortement corrélées entre elles.
  • Groupe B : \{B_1, B_2, B_3\}: variables très faiblement corrélées entre elles.
  • Groupe C : \{C_1, C_2, C_3\}: variables très faiblement corrélées entre elles.

• Conséquence: Les groupes sont déséquilibrés du point de vue des liaisons. Le groupe A va très fortememt contribuer au premier Axe factoriel. La structur de dépendance des autres groupes ne sera pas visible sur le premier plan factoriel.

> print_table(acp_A$eig[1:5, 1:2])

	eigenvalue	percentage of variance
comp 1	4.699	93.984
comp 2	0.105	2.108
comp 3	0.075	1.494
comp 4	0.065	1.297
comp 5	0.056	1.117

Contrôle des corrélations

Corrélation moyenne interne A : 0.92 

> print_table(acp_B$eig[1:3, 1:2])

	eigenvalue	percentage of variance
comp 1	1.167	38.897
comp 2	0.991	33.045
comp 3	0.842	28.057

Contrôle des corrélations

Corrélation moyenne interne B : 0.07 

> print_table(acp_C$eig[1:3, 1:2])

	eigenvalue	percentage of variance
comp 1	1.169	38.963
comp 2	0.962	32.061
comp 3	0.869	28.975

Contrôle des corrélations

Corrélation moyenne interne C : 0.08 

Corrélation ciblée B3 / C3     : 0.39 

Graphique ACP Globale avec domination du Groupe A

> print_table(acp_globale$eig[1:3, 1:2])

	eigenvalue	percentage of variance
comp 1	4.725	42.953
comp 2	1.526	13.870
comp 3	1.100	9.997

• Forte prépondérance de la première direction portée par le groupe A;
• L’information des groupes B et C est diluée dans les autres directions.

Matrice d’intérêt

Comme pour l’ACP/ACM, il faut identifier la “bonne matrice” à décomposer.

Rappels

• ACP : Analyse de la matrice de corrélation (variables centrées-réduites) afin d’égaliser la variance de chaque colonne.
• AFC : Analyse du tableau de contingence transformé en profils-lignes / profils-colonnes avec la métrique du \chi^2 (pondération par les marges).
• ACM : Analyse du Tableau Disjonctif Complet (TDC) pondéré afin de donner un poids plus fort aux modalités rares.

Objectifs pour l’AFM

• Équilibrer l’influence des groupes : Éviter que la première direction principale globale ne soit portée par un unique groupe dominant.

• Respecter la structure interne : Conserver sans altération les corrélations et poids relatifs des variables au sein de chaque groupe.

• Préserver la multidimensionnalité : Garantir qu’un groupe riche en dimensions le reste dans l’analyse globale.

Choix de la pondération

• Distance entre individus: i et i' intègre la métrique de chaque groupe. Chaque variable j du groupe k est pondérée par l’inverse de la première valeur propre \lambda_1^{(k)} issue de l’ACP individuelle de ce groupe : d^2(i, i') = \sum_{k=1}^{K} {\color{orange} \frac{1}{\lambda_1^{(k)}}} \sum_{j=1}^{J_k} \left( x_{i, (k,j)} - x_{i', (k,j)} \right)^2

Remarque : Les variables x_{\cdot, (k,j)} sont supposées centrées et réduites.

• Inertie totale de l’AFM : se décompose comme la somme pondérée des inerties de chaque groupe :

\text{Inertie}_{\text{AFM}} = \sum_{k=1}^{K} \frac{1}{\lambda_1^{(k)}} \text{Inertie}_k

Conséquence géométrique

• L’inertie du groupe k dans l’AFM devient \frac{\text{Inertie}_k}{\lambda_1^{(k)}}
• La première composante principale est à inertie 1 dans l’analyse globale

Effets de la pondération en AFM

Avant pondération (\lambda_m^{(k)})

	Groupe_A	Groupe_B	Groupe_C
comp 1	4.699	1.167	1.169
comp 2	0.105	0.991	0.962
comp 3	0.075	0.842	0.869

Après pondération (\lambda_m^{(k)} / \lambda_1^{(k)})

	Groupe_A	Groupe_B	Groupe_C
comp 1	1.000	1.000	1.000
comp 2	0.022	0.850	0.823
comp 3	0.016	0.721	0.744

Lecture directe depuis FactoMineR

• $separate.analyses[[k]]$eig stocke les valeurs propres brutes de l’ACP du groupe k.
• $global.pca$eig stocke les valeurs propres brutes de l’ACP pondérée par block.

Conséquence de la pondération

• ACP globale non pondérée (domination du Groupe A)

Valeurs propres et inertie expliquée (ACP non pondérée)

> print_table(acp_globale$eig[1:5, 1:2])

	eigenvalue	percentage of variance
comp 1	4.725	42.953
comp 2	1.526	13.870
comp 3	1.100	9.997
comp 4	0.996	9.055
comp 5	0.923	8.386

• ACP globale pondérée de l’AFM (rééquilibrage des groupes)

Valeurs propres et inertie expliquée (ACP globale AFM)

> print_table(toy.afm$global.pca$eig[1:5, 1:2])

	eigenvalue	percentage of variance
comp 1	1.325	21.368
comp 2	1.048	16.906
comp 3	0.938	15.126
comp 4	0.818	13.197
comp 5	0.778	12.548

• Le premier plan capture un pourcentage d’inertie plus faible
• La structure de dépendance de chaque groupe est mieux préservée et représentée

Interprétation de base

• L’AFM est une ACP pondérée:

  • Représentations des individus et des variables
  • Variables synthétiques : cos2, contribution
  • Ajout post-ACP de variables ou d’individus supplémentaire pour aider à l’interprétation.

• Spécificités de l’AFM: Structure en groupe des variables

• On peut obtenir un résumé des principaux résultats en utilisant la fonction summary.

> summary(toy.afm)

Call:
MFA(base = df_toy, group = c(5, 3, 3), type = c("s", "s", "s"),  
     name.group = c("Groupe A", "Groupe B", "Groupe C"), graph = FALSE) 


Eigenvalues
                      Dim.1  Dim.2  Dim.3  Dim.4  Dim.5
Variance              1.325  1.048  0.938  0.818  0.778
% of var.            21.368 16.906 15.126 13.197 12.548
Cumulative % of var. 21.368 38.274 53.399 66.596 79.144

Groups
            Dim.1    ctr   cos2    Dim.2    ctr   cos2    Dim.3    ctr   cos2  
Groupe A |  0.066  4.958  0.004 |  0.726 69.213  0.526 |  0.015  1.650  0.000 |
Groupe B |  0.700 52.851  0.219 |  0.151 14.422  0.010 |  0.189 20.108  0.016 |
Groupe C |  0.559 42.190  0.140 |  0.172 16.365  0.013 |  0.734 78.241  0.242 |

Individuals (the 10 first)
            Dim.1    ctr   cos2    Dim.2    ctr   cos2    Dim.3    ctr   cos2  
1        |  1.094  0.903  0.117 |  2.113  4.258  0.437 | -1.689  3.040  0.279 |
2        |  0.755  0.430  0.170 | -0.073  0.005  0.002 | -1.193  1.516  0.424 |
3        | -0.724  0.396  0.184 |  0.271  0.070  0.026 | -0.532  0.301  0.099 |
4        |  1.581  1.887  0.555 |  0.218  0.045  0.011 | -0.767  0.627  0.130 |
5        |  0.440  0.146  0.045 | -0.346  0.114  0.028 |  0.171  0.031  0.007 |
6        | -0.549  0.228  0.073 | -0.551  0.290  0.074 |  0.963  0.988  0.226 |
7        | -1.106  0.924  0.161 |  1.174  1.315  0.182 |  0.031  0.001  0.000 |
8        |  1.414  1.508  0.201 | -1.635  2.550  0.269 |  0.498  0.264  0.025 |
9        |  1.348  1.372  0.270 |  1.532  2.239  0.348 |  1.450  2.241  0.312 |
10       | -0.574  0.248  0.135 |  0.525  0.263  0.113 |  0.730  0.568  0.218 |

Continuous variables (the 10 first)
            Dim.1    ctr   cos2    Dim.2    ctr   cos2    Dim.3    ctr   cos2  
A1       | -0.247  0.984  0.061 | -0.825 13.823  0.681 | -0.136  0.422  0.019 |
A2       |  0.246  0.975  0.061 |  0.833 14.102  0.695 |  0.111  0.281  0.012 |
A3       | -0.291  1.356  0.084 | -0.812 13.397  0.660 | -0.119  0.319  0.014 |
A4       |  0.196  0.617  0.038 |  0.835 14.151  0.697 |  0.129  0.376  0.017 |
A5       | -0.253  1.027  0.064 | -0.823 13.741  0.677 | -0.106  0.253  0.011 |
B1       | -0.156  1.584  0.024 |  0.414 14.039  0.172 | -0.004  0.002  0.000 |
B2       |  0.497 15.983  0.247 |  0.068  0.378  0.005 |  0.258  6.066  0.066 |
B3       |  0.739 35.285  0.546 | -0.007  0.004  0.000 | -0.392 14.040  0.154 |
C1       | -0.238  3.668  0.057 |  0.418 14.236  0.174 | -0.440 17.653  0.194 |
C2       |  0.067  0.293  0.005 |  0.043  0.148  0.002 |  0.814 60.396  0.662 |

Exemple: le jeu de donnée des vins

• Descriptions
• En R

• n = 10 vins différents sont soumis à des analyses sensorielles
• K = 3 groupes : expert, étudiant, consommateur ;
• J_1 = 27 critères de description pour les experts, et J_2 = J_3 = 15 critères pour les étudiants et les consommateurs.

	Groupe Expert			Groupe Étudiant			Groupe Consommateur
		27 colonnes			15 colonnes			15 colonnes
Vin 1		\cdots			\cdots			\cdots
\vdots		\vdots			\vdots			\vdots
Vin 10		\cdots			\cdots			\cdots

L’AFM va nous permettre de :

• dresser des profils de vins selon les critères d’analyse,
• identifier des différences de description entre les 3 groupes.

> script_dir <- get_script_dir()
> vins <- read.table(file.path(script_dir, "data/AnaDo_JeuDonnees_VinsJury.csv"), header=TRUE, sep=";",dec=".", row.names=1, check.names=FALSE)

       cepage   Int.av.agitation Int.ap.agitation   Expression     O.fruit   
 Length   :10   Min.   :3.9      Min.   :4.2      Min.   :4.4   Min.   :2.1  
 N.unique : 2   1st Qu.:6.1      1st Qu.:6.6      1st Qu.:6.0   1st Qu.:4.2  
 N.blank  : 0   Median :6.9      Median :7.3      Median :6.4   Median :4.3  
 Min.nchar: 7   Mean   :6.5      Mean   :7.0      Mean   :6.3   Mean   :4.4  
 Max.nchar: 9   3rd Qu.:7.1      3rd Qu.:7.6      3rd Qu.:6.9   3rd Qu.:5.1  
                Max.   :7.8      Max.   :8.0      Max.   :7.1   Max.   :5.6  
   O.passion       O.agrume   O.fruit.confit   O.vanille       O.boisee   
 Min.   :0.50   Min.   :1.0   Min.   :0.67   Min.   :0.50   Min.   :0.33  
 1st Qu.:0.71   1st Qu.:2.9   1st Qu.:1.12   1st Qu.:0.54   1st Qu.:0.38  
 Median :1.64   Median :3.5   Median :2.93   Median :0.99   Median :0.93  
 Mean   :1.87   Mean   :3.7   Mean   :2.58   Mean   :1.98   Mean   :2.14  
 3rd Qu.:2.96   3rd Qu.:4.9   3rd Qu.:3.51   3rd Qu.:1.83   3rd Qu.:1.75  
 Max.   :4.00   Max.   :5.7   Max.   :4.71   Max.   :6.29   Max.   :7.75  
    O.champ       O.vegetale    O.florale      O.alcool   Typicite.olf.chenin
 Min.   :0.29   Min.   :1.9   Min.   :2.8   Min.   :1.7   Min.   :0.62       
 1st Qu.:0.33   1st Qu.:3.2   1st Qu.:3.4   1st Qu.:2.7   1st Qu.:2.39       
 Median :0.89   Median :4.3   Median :3.9   Median :3.2   Median :4.01       
 Mean   :1.12   Mean   :4.2   Mean   :4.5   Mean   :3.1   Mean   :3.91       
 3rd Qu.:1.67   3rd Qu.:4.6   3rd Qu.:5.6   3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:5.84       
 Max.   :3.00   Max.   :6.5   Max.   :6.6   Max.   :4.3   Max.   :6.83       
  Int.attaque      Sucree        Acide         Amere      Astringence 
 Min.   :5.1   Min.   :3.0   Min.   :4.4   Min.   :2.5   Min.   :1.4  
 1st Qu.:5.5   1st Qu.:3.3   1st Qu.:5.4   1st Qu.:3.8   1st Qu.:2.4  
 Median :5.8   Median :3.5   Median :5.8   Median :4.1   Median :2.8  
 Mean   :5.8   Mean   :3.9   Mean   :5.8   Mean   :4.0   Mean   :2.9  
 3rd Qu.:6.4   3rd Qu.:3.8   3rd Qu.:6.3   3rd Qu.:4.2   3rd Qu.:3.1  
 Max.   :6.6   Max.   :7.9   Max.   :6.8   Max.   :5.0   Max.   :4.2  
   Fraicheur     Oxydation       Finesse    Persistance.gustative
 Min.   :4.3   Min.   :0.29   Min.   :4.1   Min.   :4.9          
 1st Qu.:5.0   1st Qu.:0.43   1st Qu.:4.3   1st Qu.:6.1          
 Median :5.8   Median :1.08   Median :5.2   Median :6.5          
 Mean   :5.7   Mean   :1.39   Mean   :5.0   Mean   :6.5          
 3rd Qu.:6.6   3rd Qu.:1.77   3rd Qu.:5.5   3rd Qu.:7.1          
 Max.   :6.9   Max.   :4.00   Max.   :6.0   Max.   :7.3          
 Persistance.aromatique  Int.couleur  Nuance.couleur Impression.surface
 Min.   :5.1            Min.   :3.0   Min.   :2.4    Min.   :2.5       
 1st Qu.:5.7            1st Qu.:3.7   1st Qu.:3.9    1st Qu.:3.0       
 Median :6.2            Median :4.6   Median :4.1    Median :3.6       
 Mean   :6.1            Mean   :4.9   Mean   :4.9    Mean   :3.6       
 3rd Qu.:6.6            3rd Qu.:6.2   3rd Qu.:6.7    3rd Qu.:4.1       
 Max.   :6.7            Max.   :7.4   Max.   :7.4    Max.   :4.8       
 O.Av.Intensite_E O.Ap.Intensite_E   O.Alcool_E   O.Vegetale_E O.Champignon_E
 Min.   :4.4      Min.   :5.1      Min.   :3.8   Min.   :2.9   Min.   :2.4   
 1st Qu.:4.5      1st Qu.:5.4      1st Qu.:4.1   1st Qu.:3.1   1st Qu.:2.7   
 Median :5.0      Median :5.8      Median :4.4   Median :3.2   Median :2.9   
 Mean   :4.9      Mean   :5.7      Mean   :4.3   Mean   :3.2   Mean   :3.3   
 3rd Qu.:5.2      3rd Qu.:6.0      3rd Qu.:4.5   3rd Qu.:3.3   3rd Qu.:3.1   
 Max.   :5.4      Max.   :6.4      Max.   :4.7   Max.   :3.8   Max.   :5.8   
 O.Fruitpassion_E  O.Typicite_E G.Intensite_E    Sucree_E      Acide_E   
 Min.   :2.7      Min.   :4.0   Min.   :4.7   Min.   :4.0   Min.   :4.6  
 1st Qu.:3.3      1st Qu.:4.8   1st Qu.:5.3   1st Qu.:4.6   1st Qu.:5.0  
 Median :3.8      Median :5.2   Median :5.5   Median :4.8   Median :5.3  
 Mean   :4.2      Mean   :5.1   Mean   :5.5   Mean   :4.9   Mean   :5.3  
 3rd Qu.:5.0      3rd Qu.:5.5   3rd Qu.:5.5   3rd Qu.:4.9   3rd Qu.:5.5  
 Max.   :6.1      Max.   :5.9   Max.   :6.4   Max.   :6.8   Max.   :5.8  
    Amere_E     Astringent_E   G.Alcool_E   Equilibre_E   G.Typicite_E
 Min.   :3.4   Min.   :2.8   Min.   :4.8   Min.   :3.6   Min.   :3.6  
 1st Qu.:3.6   1st Qu.:3.5   1st Qu.:4.9   1st Qu.:4.2   1st Qu.:4.6  
 Median :3.9   Median :3.7   Median :5.1   Median :4.5   Median :5.3  
 Mean   :3.9   Mean   :3.6   Mean   :5.1   Mean   :4.5   Mean   :5.0  
 3rd Qu.:4.1   3rd Qu.:3.8   3rd Qu.:5.3   3rd Qu.:4.8   3rd Qu.:5.4  
 Max.   :4.9   Max.   :4.0   Max.   :5.5   Max.   :5.2   Max.   :5.8  
 O.Av.Intensite_C O.Ap.Intensite_C   O.Alcool_C   O.Vegetale_C O.Champignon_C
 Min.   :3.5      Min.   :5.0      Min.   :3.5   Min.   :4.0   Min.   :2.3   
 1st Qu.:4.3      1st Qu.:5.3      1st Qu.:4.1   1st Qu.:4.2   1st Qu.:3.7   
 Median :5.1      Median :5.7      Median :4.3   Median :4.5   Median :4.0   
 Mean   :4.9      Mean   :5.7      Mean   :4.3   Mean   :4.4   Mean   :4.1   
 3rd Qu.:5.5      3rd Qu.:6.1      3rd Qu.:4.6   3rd Qu.:4.6   3rd Qu.:4.6   
 Max.   :5.9      Max.   :6.7      Max.   :5.1   Max.   :5.0   Max.   :5.8   
 O.Fruitpassion_C  O.Typicite_C G.Intensite_C    Sucree_C      Acide_C   
 Min.   :2.9      Min.   :3.5   Min.   :4.3   Min.   :3.6   Min.   :4.4  
 1st Qu.:4.1      1st Qu.:4.2   1st Qu.:4.9   1st Qu.:4.4   1st Qu.:5.0  
 Median :4.2      Median :4.7   Median :5.2   Median :4.7   Median :5.5  
 Mean   :4.6      Mean   :4.5   Mean   :5.3   Mean   :4.8   Mean   :5.4  
 3rd Qu.:5.0      3rd Qu.:4.9   3rd Qu.:5.6   3rd Qu.:5.2   3rd Qu.:5.8  
 Max.   :7.0      Max.   :5.2   Max.   :6.5   Max.   :6.7   Max.   :6.4  
    Amere_C     Astringent_C   G.Alcool_C   Equilibre_C   G.Typicite_C
 Min.   :3.5   Min.   :3.7   Min.   :4.4   Min.   :4.1   Min.   :3.6  
 1st Qu.:4.6   1st Qu.:4.3   1st Qu.:4.8   1st Qu.:4.3   1st Qu.:4.1  
 Median :4.9   Median :4.7   Median :5.1   Median :4.7   Median :4.5  
 Mean   :4.9   Mean   :4.8   Mean   :5.0   Mean   :4.7   Mean   :4.5  
 3rd Qu.:5.1   3rd Qu.:5.3   3rd Qu.:5.2   3rd Qu.:5.1   3rd Qu.:4.8  
 Max.   :6.0   Max.   :5.7   Max.   :5.7   Max.   :5.6   Max.   :5.6  
     Juge1         Juge2         Juge3         Juge4         Juge5    
 Min.   :3.0   Min.   :2.5   Min.   :1.5   Min.   :1.0   Min.   :1.0  
 1st Qu.:3.2   1st Qu.:4.0   1st Qu.:2.1   1st Qu.:1.0   1st Qu.:2.6  
 Median :5.0   Median :4.8   Median :2.5   Median :2.0   Median :3.2  
 Mean   :5.0   Mean   :4.4   Mean   :2.8   Mean   :2.2   Mean   :3.1  
 3rd Qu.:6.0   3rd Qu.:5.0   3rd Qu.:2.9   3rd Qu.:2.8   3rd Qu.:3.9  
 Max.   :8.0   Max.   :5.5   Max.   :6.0   Max.   :6.0   Max.   :5.0  
     Juge6         Juge7         Juge8         Juge9          Juge10   
 Min.   :1.0   Min.   :1.5   Min.   :1.0   Min.   : 1.0   Min.   :1.0  
 1st Qu.:1.6   1st Qu.:3.1   1st Qu.:1.0   1st Qu.: 3.2   1st Qu.:1.2  
 Median :2.2   Median :3.5   Median :2.0   Median : 5.5   Median :2.0  
 Mean   :2.4   Mean   :3.3   Mean   :1.9   Mean   : 5.5   Mean   :2.5  
 3rd Qu.:2.9   3rd Qu.:4.0   3rd Qu.:2.0   3rd Qu.: 7.8   3rd Qu.:3.5  
 Max.   :4.5   Max.   :4.5   Max.   :4.0   Max.   :10.0   Max.   :6.0  
     Juge11        Juge12        Juge13        Juge14        Juge15   
 Min.   :2.0   Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :4.0   Min.   :2.0  
 1st Qu.:2.1   1st Qu.:2.0   1st Qu.:1.0   1st Qu.:5.1   1st Qu.:3.0  
 Median :2.5   Median :3.5   Median :1.5   Median :6.0   Median :3.0  
 Mean   :2.9   Mean   :4.0   Mean   :2.2   Mean   :6.0   Mean   :3.2  
 3rd Qu.:2.9   3rd Qu.:5.0   3rd Qu.:2.0   3rd Qu.:6.8   3rd Qu.:3.9  
 Max.   :5.5   Max.   :9.0   Max.   :6.0   Max.   :8.0   Max.   :4.5  
     Juge16        Juge17        Juge18        Juge19        Juge20   
 Min.   :1.0   Min.   :1.5   Min.   :3.0   Min.   :1.5   Min.   :1.5  
 1st Qu.:1.2   1st Qu.:2.1   1st Qu.:3.1   1st Qu.:2.5   1st Qu.:2.6  
 Median :3.5   Median :2.8   Median :4.8   Median :5.0   Median :3.0  
 Mean   :3.6   Mean   :3.1   Mean   :4.8   Mean   :4.2   Mean   :3.1  
 3rd Qu.:5.8   3rd Qu.:3.9   3rd Qu.:6.0   3rd Qu.:5.5   3rd Qu.:3.5  
 Max.   :7.0   Max.   :5.5   Max.   :7.5   Max.   :7.0   Max.   :4.5  
     Juge21        Juge22        Juge23        Juge24        Juge25   
 Min.   :1.0   Min.   :1.5   Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :2.0  
 1st Qu.:1.0   1st Qu.:2.5   1st Qu.:2.0   1st Qu.:1.1   1st Qu.:2.6  
 Median :1.5   Median :2.5   Median :3.5   Median :2.8   Median :3.5  
 Mean   :1.9   Mean   :2.7   Mean   :3.1   Mean   :2.5   Mean   :3.4  
 3rd Qu.:2.0   3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:4.0   3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:4.0  
 Max.   :6.0   Max.   :4.0   Max.   :5.0   Max.   :4.5   Max.   :5.0  
     Juge26        Juge27        Juge28        Juge29        Juge30   
 Min.   :2.5   Min.   :1.5   Min.   :1.5   Min.   :1.0   Min.   :3.5  
 1st Qu.:3.0   1st Qu.:1.8   1st Qu.:1.6   1st Qu.:1.5   1st Qu.:4.6  
 Median :3.8   Median :2.8   Median :2.0   Median :1.8   Median :5.0  
 Mean   :3.9   Mean   :2.7   Mean   :2.0   Mean   :1.9   Mean   :6.0  
 3rd Qu.:4.4   3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:2.4   3rd Qu.:2.4   3rd Qu.:7.8  
 Max.   :5.5   Max.   :4.0   Max.   :2.5   Max.   :3.5   Max.   :9.0  
     Juge31        Juge32        Juge33        Juge34        Juge35   
 Min.   :1.5   Min.   :1.5   Min.   :2.0   Min.   :1.0   Min.   :3.0  
 1st Qu.:2.0   1st Qu.:3.0   1st Qu.:5.1   1st Qu.:2.1   1st Qu.:4.0  
 Median :2.5   Median :4.8   Median :6.0   Median :2.5   Median :4.5  
 Mean   :3.0   Mean   :4.8   Mean   :5.8   Mean   :3.0   Mean   :5.0  
 3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:6.2   3rd Qu.:6.9   3rd Qu.:3.9   3rd Qu.:6.0  
 Max.   :7.5   Max.   :8.5   Max.   :9.5   Max.   :5.0   Max.   :8.0  
     Juge36        Juge37        Juge38        Juge39        Juge40   
 Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :1.5   Min.   :2.0   Min.   :1.5  
 1st Qu.:1.6   1st Qu.:2.0   1st Qu.:3.5   1st Qu.:2.5   1st Qu.:2.4  
 Median :3.5   Median :3.5   Median :4.2   Median :3.0   Median :5.2  
 Mean   :2.9   Mean   :3.4   Mean   :4.2   Mean   :3.3   Mean   :5.0  
 3rd Qu.:4.0   3rd Qu.:4.8   3rd Qu.:4.9   3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:7.0  
 Max.   :4.0   Max.   :6.0   Max.   :7.0   Max.   :7.5   Max.   :8.5  
     Juge41        Juge42        Juge43        Juge44        Juge45   
 Min.   :2.0   Min.   :1.0   Min.   :2.0   Min.   :2.5   Min.   :1.0  
 1st Qu.:4.2   1st Qu.:2.2   1st Qu.:3.2   1st Qu.:4.0   1st Qu.:1.2  
 Median :5.0   Median :3.0   Median :5.5   Median :4.5   Median :2.5  
 Mean   :4.8   Mean   :2.9   Mean   :5.1   Mean   :4.8   Mean   :3.3  
 3rd Qu.:5.4   3rd Qu.:3.4   3rd Qu.:6.8   3rd Qu.:5.8   3rd Qu.:5.5  
 Max.   :8.0   Max.   :5.0   Max.   :8.0   Max.   :7.5   Max.   :7.0  
     Juge46        Juge47        Juge48        Juge49        Juge50   
 Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :2.0   Min.   :4.5   Min.   :4.0  
 1st Qu.:1.2   1st Qu.:2.4   1st Qu.:3.0   1st Qu.:5.0   1st Qu.:5.0  
 Median :3.5   Median :4.5   Median :3.2   Median :5.5   Median :5.8  
 Mean   :3.2   Mean   :4.1   Mean   :3.4   Mean   :6.0   Mean   :5.5  
 3rd Qu.:4.0   3rd Qu.:4.9   3rd Qu.:3.5   3rd Qu.:6.8   3rd Qu.:6.0  
 Max.   :7.0   Max.   :8.5   Max.   :6.0   Max.   :8.5   Max.   :7.0  
     Juge51        Juge52        Juge53        Juge54        Juge55   
 Min.   :1.0   Min.   :1.5   Min.   :1.0   Min.   :1.5   Min.   :1.0  
 1st Qu.:2.1   1st Qu.:3.0   1st Qu.:3.0   1st Qu.:4.2   1st Qu.:1.1  
 Median :3.0   Median :3.5   Median :3.5   Median :6.2   Median :2.5  
 Mean   :2.8   Mean   :3.5   Mean   :3.5   Mean   :5.3   Mean   :2.1  
 3rd Qu.:3.5   3rd Qu.:4.0   3rd Qu.:4.4   3rd Qu.:6.9   3rd Qu.:2.9  
 Max.   :3.5   Max.   :6.5   Max.   :5.5   Max.   :7.5   Max.   :3.5  
     Juge56        Juge57        Juge58        Juge59        Juge60   
 Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :1.0   Min.   :1.0  
 1st Qu.:2.0   1st Qu.:1.6   1st Qu.:1.0   1st Qu.:2.2   1st Qu.:1.2  
 Median :3.0   Median :2.0   Median :3.0   Median :3.8   Median :2.0  
 Mean   :3.3   Mean   :2.0   Mean   :3.3   Mean   :3.6   Mean   :2.7  
 3rd Qu.:4.0   3rd Qu.:2.0   3rd Qu.:4.8   3rd Qu.:4.9   3rd Qu.:3.8  
 Max.   :7.0   Max.   :4.0   Max.   :8.0   Max.   :6.0   Max.   :6.0  

Exemple (jury de vins)

L’AFM avec groupe supplémentaire

> library(FactoMineR)
> vins.mfa <- MFA(vins, group=c(1,27,15,15,60), type=c("n",rep("s",4)), num.group.sup=c(1,5),
+            name.group=c("Cépage", "Expert", "Étudiant", "Consommateur", "Préférence"), ncp=9, graph=FALSE)

Valeurs propres et inertie expliquée (ACP globale AFM)

> print_table(vins.mfa $global.pca$eig[, c(1,3)])

	eigenvalue	cumulative percentage of variance
comp 1	2.674	42.515
comp 2	1.536	66.939
comp 3	0.578	76.135
comp 4	0.442	83.155
comp 5	0.319	88.230
comp 6	0.274	92.592
comp 7	0.235	96.331
comp 8	0.135	98.477
comp 9	0.096	100.000

• Règle du coude : on ne garderait que les 3 premières directions
• On pourrait rajouter la 3ème (et 4ème) pour arriver à une inertie projetée >70\% (>80\%) de l’inertie totale.

Étude des individus

• Plot
• Qualité (\cos^2)
• Contributions

• Graphique des \cos^2 cumuls

• Tableau détaillé (\cos^2)

	Axe_1	Axe_2	Plan_1_2
V Aub Silex	0.309	0.550	0.858
V Font Coteaux	0.815	0.009	0.825
S Renaudie	0.346	0.474	0.819
S Trotignon	0.350	0.432	0.782
V Aub Marigny	0.746	0.013	0.759
S Michaud	0.276	0.212	0.487
V Font Domaine	0.240	0.234	0.474
S Buisse Domaine	0.392	0.080	0.472
V Font Brûlés	0.168	0.244	0.412
S Buisse Cristal	0.000	0.046	0.046

• Graphique des contributions

• Tableau détaillé (Contrib %)

	Dim_1	Dim_2	Total
V Aub Silex	13.831	42.873	56.704
V Font Coteaux	29.586	0.589	30.174
S Trotignon	8.238	17.692	25.930
V Aub Marigny	23.857	0.723	24.580
S Renaudie	5.942	14.173	20.116
S Michaud	5.333	7.122	12.455
V Font Brûlés	2.952	7.453	10.404
V Font Domaine	3.528	5.975	9.503
S Buisse Domaine	6.733	2.384	9.117
S Buisse Cristal	0.000	1.018	1.018

Étude des variables

• Graphique (par groupe)
• Qualité (\cos^2)
• Contributions

• Graphique des \cos^2 cumuls

• Tableau détaillé (\cos^2)

	Axe_1	Axe_2	Plan_1_2
O.Alcool_E	0.286	0.658	0.944
G.Typicite_E	0.928	0.004	0.932
O.Fruitpassion_E	0.555	0.340	0.895
Nuance.couleur	0.723	0.162	0.886
Equilibre_E	0.701	0.178	0.880
Typicite.olf.chenin	0.273	0.605	0.878
O.passion	0.353	0.510	0.863
Sucree_E	0.470	0.381	0.851
O.fruit.confit	0.479	0.367	0.846
O.vanille	0.843	0.000	0.843
Fraicheur	0.276	0.560	0.837
Amere_C	0.681	0.152	0.833
Impression.surface	0.573	0.259	0.832
O.Alcool_C	0.249	0.577	0.826
Sucree_C	0.604	0.219	0.823
Int.av.agitation	0.194	0.626	0.820
Acide_E	0.718	0.089	0.806
O.florale	0.522	0.249	0.771
Amere_E	0.766	0.003	0.770
G.Intensite_C	0.740	0.030	0.770
O.Fruitpassion_C	0.504	0.263	0.767
O.Av.Intensite_E	0.028	0.737	0.765
O.vegetale	0.647	0.112	0.759
O.boisee	0.758	0.000	0.758
Int.attaque	0.054	0.699	0.753
Int.ap.agitation	0.171	0.580	0.751
O.Vegetale_E	0.013	0.738	0.751
O.Typicite_E	0.746	0.004	0.750
O.agrume	0.531	0.212	0.743
Astringent_E	0.465	0.273	0.738
Expression	0.025	0.693	0.718
Int.couleur	0.570	0.127	0.697
G.Alcool_E	0.684	0.000	0.684
O.Av.Intensite_C	0.283	0.393	0.676
G.Typicite_C	0.642	0.030	0.673
Astringence	0.654	0.009	0.664
Sucree	0.110	0.552	0.661
O.Champignon_E	0.648	0.010	0.658
O.champ	0.245	0.387	0.632
Acide	0.001	0.605	0.606
Oxydation	0.168	0.413	0.581
G.Intensite_E	0.578	0.002	0.580
Amere	0.354	0.217	0.571
O.alcool	0.559	0.000	0.559
O.Typicite_C	0.485	0.050	0.535
G.Alcool_C	0.515	0.007	0.522
O.Ap.Intensite_C	0.150	0.321	0.471
Acide_C	0.439	0.020	0.459
O.Champignon_C	0.442	0.001	0.444
O.Ap.Intensite_E	0.072	0.331	0.404
Astringent_C	0.249	0.150	0.399
Equilibre_C	0.359	0.011	0.370
O.Vegetale_C	0.036	0.321	0.357
Persistance.aromatique	0.174	0.180	0.354
Persistance.gustative	0.165	0.118	0.283
O.fruit	0.097	0.004	0.102
Finesse	0.051	0.047	0.098

• Graphique des contributions

• Tableau détaillé (Contrib %)

	Dim_1	Dim_2	Total
O.Alcool_E	1.354	5.428	6.782
O.Alcool_C	1.296	5.238	6.534
O.Av.Intensite_E	0.134	6.074	6.209
O.Vegetale_E	0.060	6.087	6.147
O.Fruitpassion_E	2.628	2.801	5.429
Sucree_E	2.225	3.141	5.366
Sucree_C	3.150	1.986	5.136
O.Av.Intensite_C	1.475	3.566	5.042
O.Fruitpassion_C	2.627	2.389	5.016
Amere_C	3.547	1.383	4.930
Equilibre_E	3.321	1.471	4.791
Astringent_E	2.205	2.250	4.455
G.Typicite_E	4.394	0.036	4.430
Typicite.olf.chenin	0.869	3.353	4.222
Acide_E	3.398	0.730	4.129
G.Intensite_C	3.855	0.271	4.126
Int.av.agitation	0.619	3.469	4.088
Int.attaque	0.173	3.876	4.049
Fraicheur	0.881	3.106	3.987
O.passion	1.123	2.830	3.953
Expression	0.079	3.843	3.922
Int.ap.agitation	0.546	3.215	3.761
O.Ap.Intensite_C	0.780	2.913	3.692
Amere_E	3.630	0.028	3.658
G.Typicite_C	3.348	0.276	3.624
O.Typicite_E	3.532	0.037	3.569
O.fruit.confit	1.526	2.037	3.563
Sucree	0.350	3.058	3.408
Acide	0.002	3.355	3.357
Impression.surface	1.827	1.435	3.261
G.Alcool_E	3.240	0.001	3.242
Nuance.couleur	2.303	0.900	3.203
O.Champignon_E	3.070	0.082	3.152
O.Vegetale_C	0.188	2.909	3.097
O.Ap.Intensite_E	0.343	2.732	3.076
O.florale	1.663	1.382	3.045
O.Typicite_C	2.528	0.449	2.978
O.champ	0.781	2.147	2.927
O.agrume	1.690	1.175	2.865
Oxydation	0.534	2.292	2.826
G.Intensite_E	2.738	0.020	2.758
G.Alcool_C	2.685	0.061	2.746
O.vanille	2.684	0.000	2.684
O.vegetale	2.061	0.618	2.679
Astringent_C	1.298	1.359	2.657
Int.couleur	1.815	0.703	2.518
Acide_C	2.287	0.182	2.469
O.boisee	2.414	0.001	2.415
Amere	1.128	1.205	2.333
O.Champignon_C	2.305	0.013	2.317
Astringence	2.084	0.052	2.136
Equilibre_C	1.872	0.096	1.968
O.alcool	1.782	0.000	1.782
Persistance.aromatique	0.554	0.998	1.553
Persistance.gustative	0.525	0.657	1.182
Finesse	0.163	0.258	0.421
O.fruit	0.310	0.023	0.333

Représentation des groupes

Caractérisation de la première composante

Formulation mathématique

• En ACP classique (centrée-réduite), la première composante factorielle v_1 (de norme 1) cherche à maximiser la liaison globale avec l’ensemble des p variables :

v_1 = \operatorname*{argmax}_{\|v\|=1} \sum_{j=1}^p \operatorname{cov}^2(v, x_{\cdot, j})

• En AFM (ACP pondérée), chaque variable du groupe k est pondérée par 1 / \sqrt{\lambda_1^{(k)}}. La première composante v_1 de l’AFM satisfait donc :

\begin{aligned}v_1 &= \operatorname*{argmax}_{\|v\|=1} \sum_{k=1}^K \sum_{j=1}^{J_k} \operatorname{cov}^2\left(v, \tfrac{x_{:, (k,j)}}{\sqrt{\lambda_1^{(k)}}}\right) \\ & = \operatorname*{argmax}_{\|v\|=1} \sum_{k=1}^K \frac{1}{\lambda_1^{(k)}} \sum_{j=1}^{J_k} \operatorname{cov}^2(v, x_{:, (k,j)})\end{aligned}

Interprétation géométrique

Propriété de borne supérieure (Équilibre inter-groupes)

Soit I_k(v) = \sum_{j=1}^{J_k} \text{cov}^2(v, x_{:, (k,j)}) définie pour tout v\in\mathbb{R}^J tel que \|v\|=1. L’inertie du groupe k projetée sur la direction v, est

0 \le \mathcal{L}_g(k,v) = \frac{I_k(v)}{\lambda_1^{(k)}} \le 1

• Interprétations,

  • \mathcal{L}_g(k,v) = 0 si toutes les variables du groupe k sont non-corrélées à v
  • \mathcal{L}_g(k,v)= 1 si v correspond à la 1ère composante principale du groupe k.

• Conséquences :

  • Contribution maximale égalisée : Quel que soit le nombre de variables J_k ou la structure du groupe k, sa contribution maximale à la première dimension de l’AFM vaut au plus 1.
  • Consensus : La composante v_1 s’ajuste pour être la plus proche possible des premières composantes de l’ensemble des K groupes.

Représentation des groupes

Les inerties projetées

> inertie_groupe_dim12 <- vins.mfa$group$coord[, 1:2]

	Dim1	Dim2
Expert	0.815	0.706
Étudiant	0.970	0.475
Consommateur	0.889	0.355

La somme des inerties des groupes actifs = inertie de l’axe 1 de l’AFM

> cat("Somme des coord des groupes (Axes 1-2) :", colSums(inertie_groupe_dim12), "\n",
+     "Valeurs propres de l'Axe 1-2 (AFM)     :", vins.mfa$eig[1:2, 1])

Somme des coord des groupes (Axes 1-2) : 2.674248 1.536237 
 Valeurs propres de l'Axe 1-2 (AFM)     : 2.674248 1.536237

• 1ère dimension commune aux 3 groupes (abscisses proches de 1)
• 2ème dimension liée surtout au groupe Expert

Similarité entre groupes

• Formulations mathématiques
• Matrice RV (R)

• Liaison globale : Le coefficient \mathcal{L}_g mesure la covariance globale croisée entre deux groupes de variables k et k' :

\mathcal{L}_g(k, k') = \sum_{j=1}^{J_k} \sum_{j'=1}^{J_{k'}} \text{cov}^2\left( \tfrac{x_{:,(k,j)}}{\sqrt{\lambda_1^{(k)}}}, \tfrac{x_{:,(k',j')}}{\sqrt{\lambda_1^{(k')}}} \right) = \tfrac{1}{\lambda_1^{(k)} \lambda_1^{(k')}} \sum_{j=1}^{J_k} \sum_{j'=1}^{J_{k'}} \text{cov}^2\left(x_{:,(k,j)}, x_{:,(k',j')}\right)

• Correlation généralisée : Le coefficient RV est la version normalisée du coefficient \mathcal{L}_g RV(k, k') = \frac{\mathcal{L}_g(k, k')}{\sqrt{\mathcal{L}_g(k, k) \, \mathcal{L}_g(k', k')}}

Interprétation des bornes du RV \in [0; 1]

• RV(k, k') = 0 : Indépendance linéaire totale. Toutes les variables du groupe k sont orthogonales à toutes les variables du groupe k'.
• RV(k, k') = 1 : Structure identique. Les nuages d’individus générés séparément par l’ACP du groupe k et l’ACP du groupe k' sont rigoureusement identiques (à un facteur d’échelle/homothétie et une rotation près).

Matrice des coefficients RV entre tous les groupes

> vins.mfa$group$RV

• La liaison la plus forte est celle entre Etudiant et Expert.
• Etudiant est le plus proche de la configuration moyenne.

Indice de multidimensionnalité

• Formulations mathématiques
• Calcul

Alors que les termes hors-diagonale \mathcal{L}_g(k, k') mesurent la liaison entre deux groupes distincts, les termes diagonaux \mathcal{L}_g(k, k) caractérisent la structure interne du groupe k :

\mathcal{L}_g(k, k) = \frac{1}{\left(\lambda_1^{(k)}\right)^2} \sum_{j=1}^{J_k} \left(\lambda_j^{(k)}\right)^2 = 1 + \sum_{j=2}^{J_k} \left(\frac{\lambda_j^{(k)}}{\lambda_1^{(k)}}\right)^2

Propriétés clés de \mathcal{L}_g(k, k)

• Borne inférieure : \mathcal{L}_g(k, k) \ge 1 pour tout groupe.
• Groupe unidimensionnel (\mathcal{L}_g(k, k) = 1) : Toutes les variables du groupe sont parfaitement colinéaires (une seule dimension suffit à tout résumer).
• Groupe multidimensionnel (\mathcal{L}_g(k, k) > 1) : Le groupe porte plusieurs dimensions d’information indépendantes non négligeables. Plus \mathcal{L}_g(k, k) est élevé, plus l’information du groupe est complexe/riche.

> vins.mfa$group$Lg

Inertie interne (multidimensionnalité) des groupes de juges

	Groupe	Lg(k,k)	Structure
Expert	Expert	1.45	Fortement multidimensionnel
Étudiant	Étudiant	1.29	Moyennement multidimensionnel
Consommateur	Consommateur	1.25	Moyennement multidimensionnel

Individus partiels, ACPs séparées

Questions d’intérêt

• Les profils d’individus sont-ils similaires entre les différents groupes ?
• Y a-t-il des individus remarquables pour certains groupes de variables ?

Pour que ce soit pertinent, on doit comparer les profils d’individus des groupes dans un espace commun. On va les comparer dans l’espace obtenu par l’AFM.

Définition

Pour chaque groupe \kappa de variables, on note X^{(\kappa)} la matrice des individus partiels, construite à partir de X comme suit :

X_{i,(k,j)}^{(\kappa)} = \begin{cases} x_{i,(k,j)} & \text{si } k = \kappa, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

	Groupe A			Groupe B
	var 1	var 2	var 3	var 1	var 2
Individu 1	x_{1,(A,1)}	x_{1,(A,2)}	x_{1,(A,3)}	x_{1,(B,1)}	x_{1,(B,2)}
Individu partiel A	x_{1,(A,1)}	x_{1,(A,2)}	x_{1,(A,3)}	0	0
Individu partiel B	0	0	0	x_{1,(B,1)}	x_{1,(B,2)}

Projection des points partiels

On projette les individus partiels supplémentaires¹ dans le plan principal, et on observe leur position par rapportaux individus associés :

• V Aub Silex a été jugé bien plus extrêmes par Conso que par Expert, relativement à la première direction ;

• S Michaud a été jugé plus extrêmes par Expert que par Conso, relativement à la deuxième direction

Il y a peu d’écart pour les points partiels de Etudiant.

1. Un facteur d’échelle de K doit être appliqué pour garantir que l’individu est le barycentre de ses individus partiels

Étude des inerties

Décomposition

\begin{aligned}\text{Inertie}_{\text{tot}, r} & = \text{Inertie}_{\text{inter}, r} + \text{Inertie}_{\text{intra}, r} \\ \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^K \left( C_r^{(\text{ind}, k)}(i) \right)^2 & = K \sum_{i=1}^n \left( C_r^{(\text{ind})}(i) \right)^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^K \left( C_r^{(\text{ind}, k)}(i) - C_r^{(\text{ind})}(i) \right)^2\end{aligned}

avec :

• C_r^{(\text{ind}, k)}(i) : coordonnée sur l’axe r de l’individu partiel i selon le groupe k.
• C_r^{(\text{ind})}(i) : coordonnée sur l’axe r de l’individu moyen (consensus) i, telle que C_r^{(\text{ind})}(i) = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K C_r^{(\text{ind}, k)}(i).

À partir de ces inerties, on peut étudier les écarts entre les points partiels et les points moyens associés.

Étude des inerties

\frac{\text{Inertie}_{\text{inter}, 1}}{\text{Inertie}_{\text{tot}, 1}}

	data
Dim.1	0.928
Dim.2	0.818
Dim.3	0.777

• Les coordonnées des points partiels selon la 1ère direction sont globalement proches de celles de leur point moyen.

• On peut s’intéresser aux individus avec de grandes inerties intra pour avoir des informations plus précises sur les différences entre les groupes.

Inertie intra individus

> id <- grep("V Aub Silex", rownames(vins.mfa$ind$coord))
> print_table(vins.mfa$ind$within.inertia[id, 1:2, drop = FALSE])

	Dim.1	Dim.2
V Aub Silex	40.078	3.314

• L’inertie intra de V Aub Silex pour la 1ère direction est très élevée: plus fortes différences entre les groupes selon cette direction.

> ids <- grep("V Aub Silex", rownames(vins.mfa$ind$coord.partiel))
> print_table(vins.mfa$ind$within.partial.inertia[ids, 1:2])

	Dim.1	Dim.2
V Aub Silex .Expert	17.470	2.005
V Aub Silex .Étudiant	0.296	0.101
V Aub Silex .Consommateur	22.312	1.208

• Cette inertie intra selon la 1ère direction vient surtout des groupes Expert et Conso.

> id <- grep("S Michaud", rownames(vins.mfa$ind$coord))
> print_table(vins.mfa$ind$within.inertia[id, 1:2, drop = FALSE])

	Dim.1	Dim.2
S Michaud	3.979	32.333

• L’inertie intra de S Michaud pour la 2ème direction est très élevée: plus fortes différences entre les groupes selon cette direction.

> ids <- grep("S Michaud", rownames(vins.mfa$ind$coord.partiel))
> print_table(vins.mfa$ind$within.partial.inertia[ids, 1:2])

	Dim.1	Dim.2
S Michaud .Expert	2.432	13.542
S Michaud .Étudiant	1.408	0.374
S Michaud .Consommateur	0.139	18.417

• Cette inertie intra selon la 1ère direction vient surtout des groupes Expert et Conso.

AFM vs ACPs séparées

Comment comparer l’AFM (= ACP globale pondérée) avec les ACPs de chacun des groupes ?

Projection des composantes principales : On met en œuvre une méthode similaire à celle des individus partiels : - On effectue pour chaque groupe une ACP classique ; - On extrait les (premières) composantes principales des ACPs ; - On projette ces composantes en tant que variable supplémentaire

Exemple

• Les 2 premières directions du groupe Etudiant coincident avec celle de l’AFM (voir Section 3.3)
• Les 2 premières directions des deux autres groupes sont bien représentées dans le 1er plan de l’AFM.

Aide à l’interprétation

Interprétation des axes

• Variables actives : L’interprétation des axes s’appuie, comme en ACP/ACM, sur :

  • La contribution (\text{CTR}) des variables aux axes.
  • La qualité de représentation (\cos^2).

• Variables supplémentaires : Elles sont projetées dans les plans principaux de l’AFM sans participer à la construction des axes :

  • Groupes supplémentaires : caractérisés par le coefficient L_g.
  • Variables quantitatives : mesurées par leur corrélation avec les directions principales.
  • Variables qualitatives : projection des modalités au barycentre des individus qui les possèdent (comme en ACM).

Exemple: Notes de 60 consommateurs

Variables quantitatives: note pour chaque vin

Exemple: Cépage de chacun des vins

Variable qualitative: Sauvignon ou Vouvray

Données qualitatives et mixtes

Données qualitatives : L’AFM s’étend naturellement aux tableaux composés de variables qualitatives : - L’ACM (Analyse Factorielle des Correspondances Multiples) remplace l’ACP dans l’étape préalable d’analyse groupe par groupe. - La pondération du groupe j reste définie par w_j = \frac{1}{\lambda_1^{(j)}}, où \lambda_1^{(j)} est la première valeur propre de l’ACM de ce groupe.

Données mixtes : L’AFM permet de traiter simultanément des groupes d’actives quantitatives et qualitatives :

• Pondération unifiée w_j = \frac{1}{\lambda_1^{(j)}} :
  • Groupe quantitatif \rightarrow \lambda_1^{(j)} issu d’une ACP (centrée-réduite ou non).
  • Groupe qualitatif \rightarrow \lambda_1^{(j)} issu d’une ACM.
• Analyse globale : ACP pondérée appliquée au tableau juxtaposé, où les variables qualitatives sont codées sous forme de tableau disjonctif complet (TDC).