Analyse Factorielle des Correspondances

AFC

Benjamin Charlier

Table des matières

• Tableaux de contingence bivariés
• Analyse Factorielle des Correspondances
• Interprétation et critères de qualité

Tableaux de contingence bivariés

Tableau de contingence

Un tableau de contingence est une matrice K \in \mathbb{R}^{q \times m} obtenue en croisant deux variables qualitatives X_1 et X_2, ayant respectivement q et m modalités, observées sur un échantillon de n individus.

• Tableau
• Exemple

	1	\cdots	s	\cdots	m	Total
1	n_{11}	\cdots	n_{1s}	\cdots	n_{1m}	n_{1.}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots	\vdots
i	n_{i1}	\cdots	n_{is}	\cdots	n_{im}	n_{i\cdot}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots	\vdots
q	n_{q1}	\cdots	n_{qs}	\cdots	n_{qm}	n_{q.}
Total	n_{.1}	\cdots	n_{\cdot s}	\cdots	n_{.m}	n_{..}=n

On note :

• n_{is} le nombre d’individus possédant les modalités i et s ;
• n_{i\cdot}=\sum_{s=1}^{m} n_{is} le nombre d’individus possédant la modalité i ;
• n_{\cdot s}=\sum_{i=1}^{q} n_{is} le nombre d’individus possédant la modalité s ;
• n_{..}=\sum_{i=1}^{q}\sum_{s=1}^{m} n_{is}=n le nombre total d’individus.

> library(FactoMineR)
> data(HairEyeColor)
> 
> K <- HairEyeColor[,,"Female"]
> K

       Eye
Hair    Brown Blue Hazel Green
  Black    36    9     5     2
  Brown    66   34    29    14
  Red      16    7     7     7
  Blond     4   64     5     8

> sum(K)

[1] 313

Tableau des fréquences

En divisant par n le tableau K, on a le tableau des fréquences F=(f_{is})_{1\leq i\leq q,\,1\leq s\leq m}:

• Tableau
• Exemple

	1	\cdots	s	\cdots	m	Total
1	f_{11}	\cdots	f_{1s}	\cdots	f_{1m}	f_{1\cdot}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots	\vdots
i	f_{i1}	\cdots	f_{is}	\cdots	f_{im}	f_{i\cdot}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots	\vdots
q	f_{q1}	\cdots	f_{qs}	\cdots	f_{qm}	f_{q\cdot}
Total	f_{\cdot 1}	\cdots	f_{\cdot s}	\cdots	f_{.m}	f_{..}=1

• Les fréquences et leurs marginales sont f_{is}=\frac{n_{is}}{n}, f_{i\cdot}=\sum_{s=1}^{m}f_{is}=\frac{n_{i\cdot}}{n}, f_{\cdot s}=\sum_{i=1}^{q}f_{is}=\frac{n_{\cdot s}}{n}.

• On note ensuite les vecteurs des poids des lignes et des colonnes :

r=\color{orange}{(f_{1\cdot},\ldots,f_{i\cdot},\ldots,f_{q\cdot})^\mathsf{T}}, \qquad c=\color{blue}{(f_{\cdot 1},\ldots,f_{\cdot s},\ldots,f_{\cdot m})^\mathsf{T}}.

Les matrices diagonales associées sont D_r=\operatorname{diag}(r)\in\mathbb{R}^{q\times q} et D_c=\operatorname{diag}(c)\in\mathbb{R}^{m\times m}.

> F <- K/sum(K)

       Eye
Hair    Brown  Blue Hazel Green
  Black 11.50  2.88  1.60  0.64
  Brown 21.09 10.86  9.27  4.47
  Red    5.11  2.24  2.24  2.24
  Blond  1.28 20.45  1.60  2.56

> r <- rowSums(F)

Black Brown   Red Blond 
 0.17  0.46  0.12  0.26 

> c <- colSums(F)

Brown  Blue Hazel Green 
 0.39  0.36  0.15  0.10 

Tableau des profils lignes (conditionnelle en ligne)

Le tableau des profils lignes L est obtenu en divisant chaque ligne i de F par son poids f_{i\cdot}.

• Tableau
• Exemple

	1	\cdots	s	\cdots	m
1	f_{11}/f_{1.}	\cdots	f_{1s}/f_{1.}	\cdots	f_{1m}/f_{1.}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots
i	f_{i1}/f_{i\cdot}	\cdots	f_{is}/f_{i\cdot}	\cdots	f_{im}/f_{i\cdot}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots
q	f_{q1}/f_{q.}	\cdots	f_{qs}/f_{q.}	\cdots	f_{qm}/f_{q.}

On note \ell_{is}=\tfrac{f_{is}}{f_{i\cdot}}=\tfrac{n_{is}}{n_{i\cdot}} le terme général de L =D_r^{-1}F.

• Métrique des poids : les profils lignes forment un nuage de q vecteurs de \mathbb{R}^m. Le profil ligne moyen pondérés par D_r\in\mathbb{R}^{q\times q} (centre de gravité du nuage) est c=\sum_{i=1}^{q} f_{i\cdot}\, L_{i:} \in \mathbb{R}^m (marges des colonnes). On peut alors centrer la matrice des profils lignes¹,

  L^c = \left(\tfrac{f_{is}}{f_{i\cdot}}-c_{s}\right)_{i,s}^{} = \left(\tfrac{f_{is}}{f_{i\cdot}}-f_{\cdot s}\right)_{i,s}^{} = \left(\tfrac{f_{is}-f_{i\cdot}f_{\cdot s}}{f_{i\cdot}}\right)_{i,s}^{} = D_r^{-1}\left(F-r c^\top\right).

• Distance du \chi^2: métrique euclidienne avec poids D_c^{-1} \in \mathbb{R}^{m\times m} d^2_{D_c^{-1}}(L_{i:},L_{i':}) =(L_{i:}-L_{i':})^\mathsf{T}D_c^{-1}(L_{i:}-L_{i':}) =\sum_{s=1}^{m}\tfrac{1}{f_{\cdot s}} \left(\tfrac{f_{is}}{f_{i\cdot}}-\tfrac{f_{i's}}{f_{i'.}}\right)^2.

> # Matrice des profils-lignes L (distributions conditionnelles en ligne)
> 
> L <- sweep(F,1,STATS=r,FUN="/")
> round(L,digits=2)

       Eye
Hair    Brown Blue Hazel Green
  Black  0.69 0.17  0.10  0.04
  Brown  0.46 0.24  0.20  0.10
  Red    0.43 0.19  0.19  0.19
  Blond  0.05 0.79  0.06  0.10

1. Centrer dans cette métrique \sum_i f_{i\cdot}\, L^c_{i:} = 0_{\mathbb{R}^m} revient à mesurer l’écart à l’hypothèse d’indépendance stochastique (f_{is} = f_{i\cdot}f_{\cdot s}).

Tableau des profils colonnes (conditionnelle en colonnes)

Le tableau des profils colonnes C est obtenu en divisant chaque colonne s de F par son poids f_{\cdot s}.

• Tableau
• Exemple

	1	\cdots	s	\cdots	m
1	f_{11}/f_{.1}	\cdots	f_{1s}/f_{\cdot s}	\cdots	f_{1m}/f_{.m}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots
i	f_{i1}/f_{.1}	\cdots	f_{is}/f_{\cdot s}	\cdots	f_{im}/f_{.m}
\vdots	\vdots		\vdots		\vdots
q	f_{q1}/f_{.1}	\cdots	f_{qs}/f_{\cdot s}	\cdots	f_{qm}/f_{.m}
Total	1	\cdots	1	\cdots	1

On note c_{is}=\tfrac{f_{is}}{f_{\cdot s}}=\tfrac{n_{is}}{n_{\cdot s}} le terme général de C=FD_c^{-1}.

• Métrique des poids : les profils colonnes forment un nuage de m vecteurs de \mathbb{R}^q. Le profil colonne moyen pondérés par D_c\in\mathbb{R}^{m\times m} (centre de gravité du nuage) est r=\sum_{s=1}^{m} f_{\cdot s}\, C_{:s} \in\mathbb{R}^q (marges des lignes). On peut alors centrer la matrice des profils colonnes¹: C^c = \left(\tfrac{f_{is}}{f_{\cdot s}}-r_i \right)_{i,s}^{} = \left(\tfrac{f_{is}}{f_{\cdot s}}-f_{i\cdot}\right)_{i,s}^{} = \left(\tfrac{f_{is}-f_{i\cdot}f_{\cdot s}}{f_{\cdot s}}\right)_{i,s}^{} = \left(F-r c^\top\right)D_c^{-1}.

• Distance du \chi^2: métrique euclidienne avec poids D_r^{-1}\in \mathbb{R}^{q\times q}. d^2_{D_r^{-1}}(C_{:s},C_{:s'}) =(C_{:s}-C_{:s'})^\mathsf{T}D_r^{-1}(C_{:s}-C_{:s'}) =\sum_{i=1}^{q}\tfrac{1}{f_{i\cdot}} \left(\tfrac{f_{is}}{f_{\cdot s}}-\tfrac{f_{is'}}{f_{\cdot s'}}\right)^2.

> # Matrice des profils-colonnes C (distributions conditionnelles en colonne)
> 
> C <- sweep(F,2,STATS=c,FUN="/")
> round(C,digits=2)

       Eye
Hair    Brown Blue Hazel Green
  Black  0.30 0.08  0.11  0.06
  Brown  0.54 0.30  0.63  0.45
  Red    0.13 0.06  0.15  0.23
  Blond  0.03 0.56  0.11  0.26

1. Centrer dans cette métrique \sum_s f_{\cdot s}\, C^c_{:s} = 0_{\mathbb{R}^q} revient à mesurer l’écart à l’hypothèse d’indépendance stochastique (f_{is} = f_{i\cdot}f_{\cdot s}).

Liaison entre lignes et colonnes

• Taux de liaison
• Exemple

En cas d’indépendance entre X_1 et X_2, on a :

f_{is}=f_{i\cdot}f_{\cdot s} \quad\Longleftrightarrow\quad n_{is}=\frac{n_{i\cdot}n_{\cdot s}}{n}.

avec les fréquences théoriques f_{i\cdot}f_{\cdot s} et les effectifs théoriques \frac{n_{i\cdot}n_{\cdot s}}{n}.

• On définit une mesure locale de liaison entre une modalité i de X_1 et une modalité s de X_2 :

  • si f_{is}\simeq f_{i\cdot}f_{\cdot s}, il y a indépendance entre i et s ;
  • si f_{is}>f_{i\cdot}f_{\cdot s}, les modalités i et s s’attirent, car \tfrac{f_{is}}{f_{i\cdot}}>f_{\cdot s} et \tfrac{f_{is}}{f_{\cdot s}}>f_{i\cdot}
  • si f_{is}<f_{i\cdot}f_{\cdot s}, les modalités i et s se repoussent, car \tfrac{f_{is}}{f_{i\cdot}}<f_{\cdot s} et \tfrac{f_{is}}{f_{\cdot s}}<f_{i\cdot}

• On a la matrice des écarts à l’indépendance (mesuré avec le taux de liaison): Z = \left(\frac{f_{is}-f_{i\cdot}f_{\cdot s}}{f_{i\cdot}f_{\cdot s}}\right)_{is} = D_r^{-1} (F - rc^\top)D_c^{-1}

Matrice des taux de liaisons :

> Z <- (F-r%*%t(c))/(r%*%t(c))

Sur cet exemple :

• La fréquence des bruns aux yeux marron est 18% au-dessus de ce qu’elle serait s’il y avait indépendance entre les deux variables couleurs des yeux et couleur des cheveux. De plus ces deux modalités s’attirent (le vérifier sur les tableaux de profils ligne et colonne).

• La fréquence des blonds aux yeux marron est 87% au-dessous de ce qu’elle serait s’il y avait indépendance entre les deux variables. En plus ces deux modalités se repoussent (le vérifier sur les tableaux de profils ligne et colonne).

Inertie et liaison entre variables

Une mesure globale de liaison entre X_1 et X_2 est \chi^2 =\sum_{i=1}^{q}\sum_{s=1}^{m} \frac{\left(n_{is}-\tfrac{n_{i\cdot}n_{\cdot s}}{n}\right)^2} {\tfrac{n_{i\cdot}n_{\cdot s}}{n}} =n\underbrace{\sum_{i=1}^{q}\sum_{s=1}^{m}\frac{\left(f_{is}-f_{i\cdot}f_{\cdot s}\right)^2} {f_{i\cdot}f_{\cdot s}}}_{=\Phi^2}

• En cas d’indépendance, on a \chi^2=\Phi^2=0.
• En pondérant z_{is} par f_{i\cdot}f_{\cdot s}, on obtient \small\bar{z}=\sum_{i,s} f_{i\cdot}f_{\cdot s}z_{is}=0, et \small\operatorname{Var}(Z)=\sum_{i,s}f_{i\cdot}f_{\cdot s}z_{is}^2 =\frac{\chi^2}{n}=\Phi^2.

Théorème

On a \tfrac{1}{n}\chi^2=I(L)=I(C), où I(L) est l’inertie du nuage des profils lignes et I(C) l’inertie du nuage des profils colonnes, calculées avec leur métrique et distance du \chi^2 respective¹.

1. On a donc I(L) = \sum_s f_{i\cdot} d^2_{D_c^{-1}}(L_{i:}, c^\top) et I(C) = \sum_i f_{\cdot s} d^2_{D_r^{-1}}(C_{:s}, c^\top)

Exemple

> # Statistique du chi2 calculée directement
> chisq.test(K)$statistic

X-squared 
 106.6637 

> # Carré de la distance du chi2 entre un profil ligne et le profil moyen
> distsq <- function(x, mean=c) {
+   sum((x - mean)^2 / mean)
+ }
> 
> # Carrés des distances de tous les profils lignes au profil moyen
> dists.row <- apply(L, 1, distsq, mean = c)
> dists.row

     Black      Brown        Red      Blond 
0.38974635 0.07834092 0.18296344 0.84474722 

> # Inertie du nuage des profils lignes : moyenne ponderée des distances
> iner.row <- sum(dists.row * r)
> iner.row * sum(K)

[1] 106.6637

> # Carrés des distances de tous les profils colonnes au profil moyen
> dists.col <- apply(C, 2, distsq, mean = r)
> dists.col

    Brown      Blue     Hazel     Green 
0.3143532 0.4820014 0.1826037 0.1601520 

> # Inertie du nuage des profils colonnes : moyenne ponderée des distances
> iner.col <- sum(dists.col * c)
> iner.col * sum(K)

[1] 106.6637

Analyse Factorielle des Correspondances

Principes

Décrire simultanément les deux nuages pondérés suivants :

1. les q profils lignes (lignes de L) pondérés par D_r et avec la métrique D_c^{-1} ;
2. les m profils colonnes, (colonnes de C) pondérés par D_c et avec la métrique D_r^{-1}.

Elle revient de manière équivalente à effectuer :

• deux ACP pondérées successives sur les q profils lignes, puis sur les m profils colonnes

• ou une ACP pondérée du tableau des écarts à l’indépendance Z=D_r^{-1}(F-rc^\top)D_c^{-1} avec les pondérations D_r pour les lignes et D_c pour les colonnes.

ACP de la matrice des profils-lignes centrés

On cherche à représenter au mieux les q modalités de X_1 dans un sous-espace de \mathbb{R}^m de dimension k \le \min(q-1,m-1)¹.

• Les axes sont engendrés par les vecteurs propres ordonnés v_1,\dots,v_k de L^\top D_r L D_c^{-1} \in \mathbb{R}^{m\times m} associés aux valeurs propres \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_k
• À chaque étape, on ajoute une nouvelle direction qui maximise la variance (pondérée par D_r) des projections des profils-lignes centrés, sous la métrique D_c^{-1}
• Les vecteurs directeurs v_\alpha sont D_c^{-1} orthonormés :

v_\alpha^\top D_c^{-1}v_\beta = \begin{cases} 1, & \text{si } \alpha = \beta,\\ 0, & \text{si } \alpha \ne \beta, \end{cases} \qquad \alpha,\beta = 1,\dots,k

• La matrice q \times k des coordonnées des profils-lignes projetés sur \text{Vect}(v_1, \dots, v_k) est notée :

X = L D^{-1}_c V_k

• X_{:\alpha} est la \alpha-ième composante principale des profils-lignes, de moyenne nulle (\overline{X}_{:\alpha} = 0) et de variance \operatorname{Var}(X_{:\alpha}) = \lambda_\alpha.

1. On a au plus q-1 dimensions pour les lignes (du fait du centrage par les poids) et m-1 pour les colonnes (car la somme d’un profil vaut 1).

ACP de la matrice des profils-colonnes centrés

De façon duale, on représente les m modalités de X_2 dans un sous-espace de \mathbb{R}^q de dimension k \le \min(q-1,m-1)¹.

• Les axes sont engendrés par les vecteurs propres ordonnés u_1,\dots,u_k de C D_c C^\top D_r^{-1} \in \mathbb{R}^{q\times q} associés aux valeurs propres \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_k
• À chaque étape, on ajoute une nouvelle direction qui maximise la variance (pondérée par D_c) des projections des profils-colonnes centrés, sous la métrique D_r^{-1}
• Les vecteurs directeurs u_\alpha sont D_r^{-1}-orthonormés :

u_\alpha^\top D_r^{-1}u_\beta = \begin{cases} 1, & \text{si } \alpha = \beta,\\ 0, & \text{si } \alpha \ne \beta, \end{cases} \qquad \alpha,\beta = 1,\dots,k

• La matrice m \times k des coordonnées des profils-colonnes projetés sur \text{Vect}(u_1, \dots, u_k) est

Y = C^\top D^{-1}_r U_k

• Y_{:\alpha} est la \alpha-ième composante principale des profils-colonnes, de moyenne nulle (\overline{Y}_{:\alpha} = 0) et de variance \operatorname{Var}(Y_{:\alpha}) = \lambda_\alpha.

1. On a au plus q-1 dimensions pour les lignes (du fait du centrage par les poids) et m-1 pour les colonnes (car la somme d’un profil vaut 1).

SVD généralisée des taux de liaison

L’AFC peut se calculer par une décomposition en valeurs singulières (pondérée) de la matrice Z \in \mathbb{R}^{q\times m} (matrice des écarts à l’indépendance ou des profils centrés) avec les métriques

N = D_r^{-1} \in \mathbb{R}^{q\times q} \qquad\text{et}\qquad M = D_c^{-1} \in \mathbb{R}^{m\times m}.

On écrit alors

Z=U\Lambda V^\top,

où, en posant r=\operatorname{rang}(Z) :

• \Lambda=\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_r}) est la matrice des valeurs singulières ordonnées ; les \lambda_\alpha sont les valeurs propres non nulles de ZMZ^\top N et de Z^\top NZM ;

• U\in\mathbb{R}^{q\times r} contient en colonnes les vecteurs propres de ZMZ^\top N, orthonormés pour la métrique N : U^\top NU=I_r ;

• V\in\mathbb{R}^{m\times r} contient en colonnes les vecteurs propres de Z^\top NZM, orthonormés pour la métrique M : V^\top MV=I_r.

• Coordonnées factorielles: profils-lignes X et profils-colonnes Y) \begin{cases} X = Z M V_k = U_k \Lambda_k \\ Y = Z^\top N U_k = V_k \Lambda_k \end{cases}

Calcul pratique à partir de la SVD standard

• Calcul pratique (SVD standard) : Plutôt que d’utiliser les routines de SVD généralisée, on peut effectuer la SVD classique de \tilde{Z} = N^{1/2} Z M^{1/2} = \tilde{U} \tilde{\Lambda} \tilde{V}^\top (sous métriques identités I_q, I_m). On remonte ensuite aux facteurs par : U = N^{-1/2} \tilde{U}, \qquad V = M^{-1/2} \tilde{V}, \qquad \Lambda = \tilde{\Lambda}

• SVD Standard sur \tilde Z
• SVD Généralisée via eigh

> # Métriques N = Dr^-1/2 et M = Dc^-1/2
+ N_sqrt = np.diag(1.0 / np.sqrt(r))
+ M_sqrt = np.diag(1.0 / np.sqrt(c))
+ 
+ # Transformation
+ Z_tilde = N_sqrt @ Z @ M_sqrt
+ 
+ # SVD classique : Z_tilde = U_tilde @ diag(s) @ V_tilde^T
+ U_tilde, s, Vt_tilde = svd(Z_tilde)
+ 
+ # Reconstitution des facteurs SVD généralisée
+ U_std = N_sqrt @ U_tilde
+ C_std = U_std @ np.diag(s)  # Coordonnées des profils-lignes
+ 
+ print(np.round(C_std[:, :2], 3))

[[-0.509  0.338]
 [-0.193 -0.144]
 [-0.197 -0.321]
 [ 0.76   0.085]]

> # On résout le problème généralisé : (Z M Z^T) u = lambda N^-1 u
+ # avec M = Dc^-1 et N^-1 = Dr
+ M = np.diag(1.0 / c)
+ N_inv = np.diag(r)
+ 
+ A = Z @ M @ Z.T  # Opérateur d'inertie
+ B = N_inv  # Métrique duale (Dr)
+ 
+ # eigh résout A u = lambda B u pour des matrices symétriques
+ vals, U_gen = eigh(A, B)
+ 
+ # Tri par valeurs propres décroissantes
+ idx = np.argsort(vals)[::-1]
+ vals = vals[idx]
+ U_gen = U_gen[:, idx]
+ 
+ # Coordonnées C_gen = U @ sqrt(Lambda)
+ s_gen = np.sqrt(np.maximum(0, vals))
+ C_gen = U_gen @ np.diag(s_gen)
+ 
+ print(np.round(np.abs(C_gen[:, :2]), 3))  # abs() car le signe est arbitraire

[[0.509 0.338]
 [0.193 0.144]
 [0.197 0.321]
 [0.76  0.085]]

Exemple

> library(FactoMineR)
> 
> # Exécution de l'AFC (CA = Correspondence Analysis)
> res.ca <- CA(K, graph = TRUE)

• Axe 1 (inertie principale) : Oppose nettement les profils extrêmes sur la première dimension.

  • Côté lignes : opposition très marquée entre les cheveux Blond (à gauche) et Black / Brown (à droite).
  • Côté colonnes : opposition symétrique entre les yeux Blue (à gauche) et Brown (à droite).

• Axe 2 : Isole la modalité intermédiaire Red (lignes) et Hazel / Green (colonnes).

Composante principale standardisée

Une composante principale standardisée est une composante divisée par son écart-type (\sqrt{\lambda_\alpha}).

• La matrice \Lambda_k étant la matrice diagonale des valeurs singulières, les matrices X^* et Y^* des coordonnées factorielles standardisées s’écrivent :

\begin{cases} X^* = X \Lambda^{-1}_k \\ Y^* = Y \Lambda^{-1}_k \end{cases} \qquad \implies \qquad \begin{cases} X^* = U_k \\ Y^* = V_k \end{cases}

• On a les relations de transition suivantes :

\begin{cases} X = D_r^{-1} (F - r c^\top) Y^* \\ Y = D_c^{-1} (F - r c^\top)^\top X^* \end{cases}

La coordonnée factorielle d’une modalité d’une variable est une combinaison linéaire des coordonnées factorielles (standardisées) des modalités de l’autre variable

\begin{cases} X_{i\alpha} = \displaystyle\sum_{s=1}^m \frac{f_{is}}{f_{i\cdot}} Y^*_{s\alpha} \\ Y_{s\alpha} = \displaystyle\sum_{i=1}^q \frac{f_{is}}{f_{\cdot s}} X^*_{i\alpha} \end{cases}

Propriétés barycentriques

On en déduit immédiatement que X_{i\alpha} = \tfrac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}} \displaystyle\sum_{s=1}^m \frac{f_{is}}{f_{i\cdot}} Y_{s\alpha} \qquad \text{ et } \qquad Y_{s\alpha} = \tfrac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}} \displaystyle\sum_{i=1}^q \frac{f_{is}}{f_{\cdot s}} X_{i\alpha}

Interprétation géométrique et statistique

• Principe du barycentre : La coordonnée de la modalité i est la moyenne des coordonnées (standardisées) des modalités s de l’autre variable, pondérée par les fréquences conditionnelles f_{is} / f_{i\cdot} (profil-ligne).
• Dilatation : Au coefficient de dilatation 1/\sqrt{\lambda_\alpha} près (puisque \sqrt{\lambda_\alpha} < 1), les coordonnées factorielles d’un nuage de points sont, sur chaque axe, les barycentres des coordonnées factorielles de l’autre nuage.

• Représentation simultanée : Ces relations justifient le tracé des profils-lignes et des profils-colonnes sur le même graphique (biplot). Mais Attention : la distance entre un profil-ligne et un profil-colonne ne s’interprète pas directement en termes de distance géométrique, mais en termes d’attraction/liaison (un profil-ligne se rapproche des profils-colonnes pour lesquels sa fréquence conditionnelle est élevée).

Exemple

Vérification des relations barycentriques sur le 1er axe

> # 1. Extraction FactoMineR
> x1 <- res.ca$row$coord[, 1]                 # Coordonnée x_1
> y1 <- res.ca$col$coord[, 1]                 # Coordonnée y_1
> rsqrt_lambda <- 1 / sqrt(res.ca$eig[, 1])   # Valeur singulière  sqrt(lambda_1)
> rsqrt_lambda                                # poids dans les relation barycentrique

    dim 1     dim 2     dim 3 
 1.818304  5.535800 13.259526 

> # --- Formule : x_i = (1 / sqrt(lambda_1)) * sum( (f_is / f_i.) * y_s )
> x_black_formule1 <- sum(L['Black',] * y1) * rsqrt_lambda[1]
> 
> 
> cat("FactoMineR (x1)                          :", x1["Black"],
+     "\nFormule avec y  (1/sqrt(lambda) * sum)   :", x_black_formule1, "\n")

FactoMineR (x1)                          : 0.5170739 
Formule avec y  (1/sqrt(lambda) * sum)   : 0.5170739 

Interprétation et critères de qualité

Interprétation : Inertie et test d’indépendance

• En ACP normée, l’inertie totale du nuage des points-individus est égale à p, le nombre de variables. En AFC, l’inertie totale des profils-lignes et des profils-colonnes est égale au \phi^2 (le \chi^2 d’indépendance divisé par l’effectif total n) : I(L) = I(C) = \frac{\chi^2(X_1, X_2)}{n} La dispersion des nuages de points est donc une mesure de liaison entre les deux variables qualitatives, appelée aussi mesure d’écart à l’indépendance.

• Nombre d’axes et inertie : En AFC, il y a au plus r = \min(q - 1, m - 1) valeurs propres non nulles. L’inertie totale s’écrit \sum_{\alpha=1}^r \lambda_\alpha. Chaque axe principal explique une part de cette inertie : \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_1 + \dots + \lambda_r} \times 100 qui s’interprète comme :

  • Le pourcentage d’inertie (ou de variance) expliqué par l’axe \alpha,
  • La part de la liaison entre X_1 et X_2 captée par cet axe.

L’AFC en pratique

1. Test préalable du \chi^2
   • L’inertie totale vaut I = \frac{\chi^2}{n}.
   • AFC pertinente uniquement si H_0 est rejetée (p < 0{,}05).
   • Évite d’interpréter le bruit d’échantillonnage.
2. Choix du nombre d’axes
   • Rang maximal : r = \min(q - 1,\, m - 1).
   • Critère du coude sur l’éboulis des valeurs propres.
   • Seuil de Benzécri : conserver les axes où \lambda_\alpha > \frac{1}{r}.
3. Interprétation des modalités
   • \operatorname{CTR}_{\alpha}(\cdot) (Contributions) : quelles modalités créent l’axe.
   • \cos^2_{\alpha}(\cdot) (Qualité) : si l’axe explique bien la modalité.

Contributions absolues (\text{CTR})

• Définition
• En R

Pour un axe factoriel \alpha, la contribution d’une modalité mesure sa part dans l’inertie de cet axe (\lambda_\alpha)

\begin{cases} \operatorname{CTR}_\alpha(i) = \tfrac{f_{i\cdot} \, x_{i\alpha}^2}{\lambda_\alpha} & \text{(Profils-lignes)} \\[10pt] \operatorname{CTR}_\alpha(s) = \tfrac{f_{\cdot s} \, y_{s\alpha}^2}{\lambda_\alpha} & \text{(Profils-colonnes)} \end{cases} \quad \text{avec} \quad \sum_i \operatorname{CTR}_\alpha(i) = \sum_s \operatorname{CTR}_\alpha(s) = 1

• Rôle : Identifie les modalités responsables de la construction de l’axe \alpha (donne son sens à l’axe).
• Règle de décision : Une modalité est contributive si sa contribution excède le poids moyen : en lignes, si on a \operatorname{CTR}_\alpha(i) > \tfrac{1}{q}; en colonnes, si on a \operatorname{CTR}_\alpha(s) > \tfrac{1}{m}

Attention au piège de l’excentrement

En AFC, un point très éloigné de l’origine n’est pas forcément un contributeur majeur : la contribution dépend du produit entre l’éloignement (X_{i\alpha}^2) et la masse de la modalité (f_{i\cdot}). Une modalité rare très excentrée peut avoir une contribution faible.

> print_table(res.ca$row$contrib)

	Dim 1	Dim 2	Dim 3
Black	14.686	60.957	7.744
Brown	10.212	8.894	35.207
Red	3.017	28.431	56.731
Blond	72.086	1.718	0.318

> print_table(res.ca$col$contrib)

	Dim 1	Dim 2	Dim 3
Brown	38.239	20.684	2.099
Blue	57.453	5.322	0.803
Hazel	4.249	34.794	46.261
Green	0.059	39.200	50.837

Qualité de représentation (\cos^2)

• Définition
• En R

Le \cos^2 mesure la qualité de projection d’une modalité sur l’axe factoriel \alpha :

\begin{cases} \cos^2_\alpha(i) = \tfrac{x_{i\alpha}^2}{d^2_{D_r^{-1}}(L_{i:}, c^\top)} & \text{(Profils-lignes)} \\[12pt] \cos^2_\alpha(s) = \tfrac{y_{s\alpha}^2}{d^2(c_s, r)} & \text{(Profils-colonnes)} \end{cases} \quad \text{avec} \quad \sum_{\alpha=1}^r \cos^2_\alpha(\cdot) = 1

où d^2_{D_r^{-1}}(L_{i:}, c^\top) est la distance du \chi^2 entre le profil-ligne L_{i:} et le profil moyen c.

• Axe bien représenté : On n’interprète la position d’un point sur un axe que si son \cos^2_\alpha est élevé (proximité réelle, non un artefact de projection).
• Proximité Intra-variable : Deux modalités d’une même variable proches et bien représentées ont des profils similaires.
• Proximité Inter-variables : La proximité entre une modalité ligne et une colonne s’interprète uniquement via les relations barycentriques (attraction / liaison positive).

> print_table(res.ca$row$cos2)

	Dim 1	Dim 2	Dim 3
Black	0.686	0.307	0.007
Brown	0.863	0.081	0.056
Red	0.422	0.429	0.149
Blond	0.997	0.003	0.000

> print_table(res.ca$col$cos2)

	Dim 1	Dim 2	Dim 3
Brown	0.944	0.055	0.001
Blue	0.990	0.010	0.000
Hazel	0.479	0.423	0.098
Green	0.011	0.806	0.182

Références

• (Saporta 2006)
• François Husson
• Marie Chavent
• Vivien Roussez et Pascal Irz

Saporta, Gilbert. 2006. Probabilités, analyse des données et statistique / Gilbert Saporta,... 2e édition révisée et augmentée. Éditions Technip.